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Autoregresivo Integrado Movendo Médio WikiOs modelos ARIMA sao, em teoria, a classe mais geral de modelos para prever uma serie de tempo que pode ser feita para ser 8220stationary8221 por diferenciacao (se necessario), talvez Em conjunto com transformacoes nao-lineares, como logging ou deflacao (se necessario). Uma variavel aleatoria que e uma serie de tempo e estacionaria se suas propriedades estatisticas sao todas constantes ao longo do tempo. Uma serie estacionaria nao tem tendencia, suas variacoes em torno de sua media tem uma amplitude constante, e ele se move de forma consistente. Isto e, os seus padroes de tempo aleatorio a curto prazo tem sempre o mesmo aspecto num sentido estatistico. Esta ultima condicao significa que suas autocorrelacoes (correlacoes com seus proprios desvios previos em relacao a media) permanecem constantes ao longo do tempo, ou de forma equivalente, que seu espectro de poder permanece constante ao longo do tempo. Uma variavel aleatoria desta forma pode ser vista (como de costume) como uma combinacao de sinal e ruido, eo sinal (se for aparente) poderia ser um padrao de reversao media rapida ou lenta, ou oscilacao sinusoidal, ou rapida alternancia no sinal , E poderia tambem ter uma componente sazonal. Um modelo ARIMA pode ser visto como um 8220filter8221 que tenta separar o sinal do ruido, e o sinal e entao extrapolado para o futuro para obter previsoes. A equacao de previsao de ARIMA para uma serie de tempo estacionaria e uma equacao linear (isto e, tipo de regressao) na qual os preditores consistem em atrasos da variavel dependente e / ou atrasos dos erros de previsao. Ou seja: Valor previsto de Y uma constante e / ou uma soma ponderada de um ou mais valores recentes de Y e / ou uma soma ponderada de um ou mais valores recentes dos erros. Se os preditores consistem apenas em valores defasados ??de Y., e um modelo autoregressivo puro (8220 auto-regressado8221), que e apenas um caso especial de um modelo de regressao e que poderia ser equipado com software de regressao padrao. Por exemplo, um modelo autoregressivo de primeira ordem (8220AR (1) 8221) para Y e um modelo de regressao simples no qual a variavel independente e apenas Y retardada por um periodo (LAG (Y, 1) em Statgraphics ou YLAG1 em RegressIt). Se alguns dos preditores sao defasagens dos erros, um modelo ARIMA nao e um modelo de regressao linear, porque nao ha maneira de especificar o erro 8222 como uma variavel independente: os erros devem ser calculados em base periodo a periodo Quando o modelo e ajustado aos dados. Do ponto de vista tecnico, o problema com o uso de erros defasados ??como preditores e que as previsoes do modelo nao sao funcoes lineares dos coeficientes. Mesmo que sejam funcoes lineares dos dados passados. Portanto, os coeficientes em modelos ARIMA que incluem erros retardados devem ser estimados por metodos de otimizacao nao-lineares (8220hill-climbing8221) ao inves de apenas resolver um sistema de equacoes. O acronimo ARIMA significa Auto-Regressive Integrated Moving Average. Lags das series estacionalizadas na equacao de previsao sao chamados de termos quotautorregressivos, os atrasos dos erros de previsao sao chamados de quotmoving termos medios e uma serie de tempo que precisa ser diferenciada para ser estacionaria e dito ser uma versao quotintegrada de uma serie estacionaria. Modelos de Random-walk e tendencia aleatoria, modelos autorregressivos e modelos de suavizacao exponencial sao casos especiais de modelos ARIMA. Um modelo ARIMA nao sazonal e classificado como um modelo quotARIMA (p, d, q) quot, onde: p e o numero de termos autorregressivos, d e o numero de diferencas nao sazonais necessarias para a estacionaridade e q e o numero de erros de previsao defasados ??em A equacao de predicao. A equacao de previsao e construida como se segue. Em primeiro lugar, vamos dizer a d diferenca de Y. o que significa: Note que a segunda diferenca de Y (o caso d2) nao e a diferenca de 2 periodos atras. Pelo contrario, e a primeira diferenca de primeira diferenca. Que e o analogo discreto de uma segunda derivada, isto e, a aceleracao local da serie em vez da sua tendencia local. Em termos de y. A equacao de previsao geral e: Aqui os parametros da media movel (9528217s) sao definidos de modo que seus sinais sejam negativos na equacao, seguindo a convencao introduzida por Box e Jenkins. Alguns autores e software (incluindo a linguagem de programacao R) definem-los para que eles tenham mais sinais em vez disso. Quando numeros reais sao conectados a equacao, nao ha ambiguidade, mas e importante saber qual convencao seu software usa quando esta lendo a saida. Muitas vezes os parametros sao indicados por AR (1), AR (2), 8230 e MA (1), MA (2), 8230, etc. Para identificar o modelo ARIMA apropriado para Y. voce comeca por determinar a ordem de diferenciacao (D) a necessidade de estacionarizar a serie e remover as caracteristicas brutas da sazonalidade, talvez em conjunto com uma transformacao estabilizadora de variancia, como a extracao madeireira ou a deflacao. Se voce parar neste ponto e prever que a serie diferenciada e constante, voce tem apenas montado uma caminhada aleatoria ou modelo de tendencia aleatoria. No entanto, a serie estacionaria pode ainda ter erros autocorrelacionados, sugerindo que algum numero de termos AR (p 8805 1) e / ou alguns termos MA (q 8805 1) tambem sao necessarios na equacao de previsao. O processo de determinar os valores de p, d e q que sao melhores para uma dada serie temporal sera discutido em secoes posteriores das notas (cujos links estao no topo desta pagina), mas uma previa de alguns dos tipos De modelos nao-sazonais ARIMA que sao comumente encontrados e dada abaixo. ARIMA (1,0,0) modelo autoregressivo de primeira ordem: se a serie e estacionaria e autocorrelacionada, talvez possa ser predita como um multiplo de seu proprio valor anterior, mais uma constante. A equacao de previsao neste caso e 8230, que e regressao Y sobre si mesma retardada por um periodo. Este e um modelo 8220ARIMA (1,0,0) constant8221. Se a media de Y for zero, entao o termo constante nao seria incluido. Se o coeficiente de inclinacao 981 1 for positivo e menor que 1 em magnitude (ele deve ser menor que 1 em magnitude se Y estiver parado), o modelo descreve o comportamento de reversao de media no qual o valor do proximo periodo deve ser 981 vezes 1 Longe da media como valor deste periodo. Se 981 1 for negativo, ele preve o comportamento de reversao de media com alternancia de sinais, isto e, tambem preve que Y estara abaixo do proximo periodo medio se estiver acima da media neste periodo. Em um modelo autorregressivo de segunda ordem (ARIMA (2,0,0)), haveria um termo Y t-2 a direita tambem, e assim por diante. Dependendo dos sinais e magnitudes dos coeficientes, um modelo ARIMA (2,0,0) poderia descrever um sistema cuja reversao media ocorre de forma sinusoidal oscilante, como o movimento de uma massa sobre uma mola submetida a choques aleatorios . Se a serie Y nao for estacionaria, o modelo mais simples possivel para ela e um modelo randomico randomico, que pode ser considerado como um caso limitante de um modelo AR (1) em que o modelo autorregressivo Coeficiente e igual a 1, ou seja, uma serie com reversao media infinitamente lenta. A equacao de predicao para este modelo pode ser escrita como: onde o termo constante e a variacao media periodo-periodo (ou seja, a deriva a longo prazo) em Y. Este modelo poderia ser montado como um modelo de regressao sem interceptacao em que o A primeira diferenca de Y e a variavel dependente. Uma vez que inclui (apenas) uma diferenca nao sazonal e um termo constante, e classificada como um modelo de ARIMA (0,1,0) com constante. quot O modelo randomico-sem-desvio seria um ARIMA (0,1, 0) sem constante ARIMA (1,1,0) modelo autoregressivo de primeira ordem diferenciado: Se os erros de um modelo de caminhada aleatoria sao autocorrelacionados, talvez o problema possa ser corrigido adicionando um lag da variavel dependente a equacao de predicao - Eu Pela regressao da primeira diferenca de Y sobre si mesma retardada por um periodo. Isto resultaria na seguinte equacao de predicao: que pode ser rearranjada para Este e um modelo autorregressivo de primeira ordem com uma ordem de diferenciacao nao sazonal e um termo constante - isto e. Um modelo ARIMA (1,1,0). ARIMA (0,1,1) sem suavizacao exponencial simples constante: Uma outra estrategia para corrigir erros autocorrelacionados em um modelo de caminhada aleatoria e sugerida pelo modelo de suavizacao exponencial simples. Lembre-se que para algumas series temporais nao-estacionarias (por exemplo, as que exibem flutuacoes barulhentas em torno de uma media de variacao lenta), o modelo de caminhada aleatoria nao funciona tao bem quanto uma media movel de valores passados. Em outras palavras, ao inves de tomar a observacao mais recente como a previsao da proxima observacao, e melhor usar uma media das ultimas observacoes para filtrar o ruido e estimar com mais precisao a media local. O modelo de suavizacao exponencial simples usa uma media movel exponencialmente ponderada de valores passados ??para conseguir esse efeito. A equacao de predicao para o modelo de suavizacao exponencial simples pode ser escrita em um numero de formas matematicamente equivalentes. Uma das quais e a chamada 8220error correction8221, na qual a previsao anterior e ajustada na direcao do erro que ela fez: Como e t-1 Y t-1 - 374 t-1 por definicao, isso pode ser reescrito como : Que e uma equacao de previsao ARIMA (0,1,1) sem constante com 952 1 1 - 945. Isso significa que voce pode ajustar uma suavizacao exponencial simples especificando-a como um modelo ARIMA (0,1,1) sem Constante, eo coeficiente MA (1) estimado corresponde a 1-menos-alfa na formula SES. Lembre-se que no modelo SES, a idade media dos dados nas previsoes de 1 periodo antecipado e de 1 945, o que significa que tendem a ficar aquem das tendencias ou pontos de viragem em cerca de 1 945 periodos. Segue-se que a media de idade dos dados nas previsoes de 1 periodo de um modelo ARIMA (0,1,1) sem constante e de 1 (1 - 952 1). Assim, por exemplo, se 952 1 0,8, a idade media e 5. Quando 952 1 aproxima-se de 1, o modelo ARIMA (0,1,1) sem constante torna-se uma media movel de muito longo prazo e como 952 1 Aproxima-se 0 torna-se um modelo randomico-caminhada-sem-deriva. Nos dois modelos anteriores discutidos acima, o problema dos erros autocorrelacionados em um modelo de caminhada aleatoria foi fixado de duas maneiras diferentes: adicionando um valor defasado da serie diferenciada Para a equacao ou adicionando um valor defasado do erro de previsao. Qual abordagem e a melhor Uma regra para esta situacao, que sera discutida em mais detalhes mais adiante, e que a autocorrelacao positiva e geralmente melhor tratada pela adicao de um termo AR para o modelo e autocorrelacao negativa e geralmente melhor tratada pela adicao de um MA termo. Nas series economicas e de negocios, a autocorrelacao negativa muitas vezes surge como um artefato de diferenciacao. Portanto, o modelo ARIMA (0,1,1), no qual a diferenciacao e acompanhada por um termo de MA, e mais frequentemente usado do que um modelo de auto-correlacao positiva. Modelo ARIMA (1,1,0). ARIMA (0,1,1) com suavizacao exponencial simples constante com crescimento: Ao implementar o modelo SES como um modelo ARIMA, voce realmente ganha alguma flexibilidade. Em primeiro lugar, o coeficiente MA (1) estimado pode ser negativo. Isto corresponde a um factor de suavizacao maior do que 1 num modelo SES, o que normalmente nao e permitido pelo procedimento de ajustamento do modelo SES. Em segundo lugar, voce tem a opcao de incluir um termo constante no modelo ARIMA, se desejar, para estimar uma tendencia media nao-zero. O modelo ARIMA (0,1,1) com constante tem a equacao de predicao: As previsoes de um periodo de adiantamento deste modelo sao qualitativamente semelhantes as do modelo SES, exceto que a trajetoria das previsoes de longo prazo e tipicamente uma Inclinada (cuja inclinacao e igual a mu) em vez de uma linha horizontal. ARIMA (0,2,1) ou (0,2,2) sem suavizacao exponencial linear constante: Os modelos lineares de suavizacao exponencial sao modelos ARIMA que utilizam duas diferencas nao sazonais em conjunto com os termos MA. A segunda diferenca de uma serie Y nao e simplesmente a diferenca entre Y e ela mesma retardada por dois periodos, mas sim e a primeira diferenca da primeira diferenca - i. e. A mudanca na mudanca de Y no periodo t. Assim, a segunda diferenca de Y no periodo t e igual a (Y t - Y t-1) - (Y t-1 - Y t-2) Y t - 2Y t-1 Y t-2. Uma segunda diferenca de uma funcao discreta e analoga a uma segunda derivada de uma funcao continua: ela mede a quotaccelerationquot ou quotcurvaturequot na funcao em um dado ponto no tempo. O modelo ARIMA (0,2,2) sem constante preve que a segunda diferenca da serie e igual a uma funcao linear dos dois ultimos erros de previsao: que pode ser rearranjada como: onde 952 1 e 952 2 sao MA (1) e MA (2) coeficientes. Este e um modelo de suavizacao exponencial linear geral. Essencialmente o mesmo que Holt8217s modelo, e Brown8217s modelo e um caso especial. Ele usa medias moveis exponencialmente ponderadas para estimar um nivel local e uma tendencia local na serie. As previsoes a longo prazo deste modelo convergem para uma linha recta cujo declive depende da tendencia media observada no final da serie. ARIMA (1,1,2) sem suavizacao exponencial linear de tendencia amortecida constante. Este modelo e ilustrado nos slides acompanhantes nos modelos ARIMA. Ele extrapola a tendencia local no final da serie, mas aplana-lo em horizontes de previsao mais longos para introduzir uma nota de conservadorismo, uma pratica que tem apoio empirico. Veja o artigo sobre "Por que a tendencia de amortecimento" trabalha por Gardner e McKenzie e o artigo de "Rule of Gold" de Armstrong et al. para detalhes. E geralmente aconselhavel aderir a modelos nos quais pelo menos um de p e q nao e maior do que 1, ou seja, nao tente encaixar um modelo como ARIMA (2,1,2), uma vez que isto e susceptivel de conduzir a sobre-adaptacao E quotcommon-factorquot questoes que sao discutidas em mais detalhes nas notas sobre a estrutura matematica dos modelos ARIMA. Implementacao de planilhas: modelos ARIMA como os descritos acima sao faceis de implementar em uma planilha. A equacao de predicao e simplesmente uma equacao linear que se refere a valores passados ??de series temporais originais e valores passados ??dos erros. Assim, voce pode configurar uma planilha de previsao ARIMA armazenando os dados na coluna A, a formula de previsao na coluna B e os erros (dados menos previsoes) na coluna C. A formula de previsao em uma celula tipica na coluna B seria simplesmente Uma expressao linear referindo-se a valores nas linhas precedentes das colunas A e C, multiplicado pelos coeficientes AR ou MA apropriados armazenados em celulas em outra parte da planilha. Um RIMA significa modelos de media movel integrada. Univariada (vetor unico) ARIMA e uma tecnica de previsao que projeta os valores futuros de uma serie baseada inteiramente em sua propria inercia. Sua principal aplicacao e na area de previsao de curto prazo, exigindo pelo menos 40 pontos de dados historicos. Ele funciona melhor quando seus dados exibem um padrao estavel ou consistente ao longo do tempo com uma quantidade minima de outliers. As vezes chamado Box-Jenkins (apos os autores originais), ARIMA e geralmente superior a tecnicas de suavizacao exponencial quando os dados sao razoavelmente longos ea correlacao entre as observacoes passadas e estavel. Se os dados sao curtos ou altamente volateis, entao algum metodo de suavizacao pode funcionar melhor. Se voce nao tiver pelo menos 38 pontos de dados, voce deve considerar algum outro metodo que ARIMA. O primeiro passo na aplicacao da metodologia ARIMA e verificar a estacionaridade. Estacionariedade implica que a serie permanece a um nivel bastante constante ao longo do tempo. Se houver uma tendencia, como na maioria das aplicacoes economicas ou de negocios, os dados NAO sao estacionarios. Os dados tambem devem mostrar uma variacao constante em suas flutuacoes ao longo do tempo. Isso e facilmente visto com uma serie que e fortemente sazonal e crescendo a um ritmo mais rapido. Nesse caso, os altos e baixos da sazonalidade se tornarao mais dramaticos ao longo do tempo. Sem que estas condicoes de estacionaridade sejam satisfeitas, muitos dos calculos associados ao processo nao podem ser calculados. Se um grafico grafico dos dados indica nonstationarity, entao voce deve diferenca a serie. A diferenciacao e uma excelente maneira de transformar uma serie nao-estacionaria em uma estacionaria. Isto e feito subtraindo a observacao no periodo atual do anterior. Se essa transformacao e feita apenas uma vez para uma serie, voce diz que os dados foram primeiramente diferenciados. Este processo elimina essencialmente a tendencia se sua serie esta crescendo em uma taxa razoavelmente constante. Se ele esta crescendo a uma taxa crescente, voce pode aplicar o mesmo procedimento e diferenca os dados novamente. Seus dados seriam entao segundo diferenciados. Autocorrelacoes sao valores numericos que indicam como uma serie de dados esta relacionada a si mesma ao longo do tempo. Mais precisamente, ele mede quao fortemente os valores de dados em um numero especifico de periodos separados estao correlacionados entre si ao longo do tempo. O numero de periodos separados e geralmente chamado de lag. Por exemplo, uma autocorrelacao no retardo 1 mede como os valores 1 intervalo de tempo sao correlacionados um ao outro ao longo da serie. Uma autocorrelacao no intervalo 2 mede como os dados dois periodos separados estao correlacionados ao longo da serie. As autocorrelacoes podem variar de 1 a -1. Um valor proximo a 1 indica uma alta correlacao positiva, enquanto um valor proximo a -1 implica uma correlacao negativa alta. Essas medidas sao mais frequentemente avaliadas atraves de graficos graficos chamados correlagramas. Um correlagram traca os valores de auto-correlacao para uma dada serie em diferentes defasagens. Isto e referido como a funcao de autocorrelacao e e muito importante no metodo ARIMA. A metodologia ARIMA tenta descrever os movimentos em series temporais estacionarias em funcao dos parametros chamados auto-regressivos e de media movel. Estes sao referidos como parametros AR (autoregessive) e MA (medias moveis). Um modelo AR com apenas um parametro pode ser escrito como. X (t) A (1) X (t-1) E (t) onde X (t) series temporais sob investigacao A (1) o parametro autorregressivo de ordem 1 X (t-1) (T) o termo de erro do modelo Isto simplesmente significa que qualquer valor dado X (t) pode ser explicado por alguma funcao de seu valor anterior, X (t-1), mais algum erro aleatorio inexplicavel, E (t). Se o valor estimado de A (1) fosse .30, entao o valor atual da serie estaria relacionado a 30 de seu valor 1 periodo atras. Naturalmente, a serie poderia estar relacionada a mais do que apenas um valor passado. Por exemplo, X (t) A (1) X (t-1) A (2) X (t-2) E (t) Isso indica que o valor atual da serie e uma combinacao dos dois valores imediatamente anteriores, X (t-1) e X (t-2), mais algum erro aleatorio E (t). Nosso modelo e agora um modelo autorregressivo de ordem 2. Modelos de media movel: Um segundo tipo de modelo Box-Jenkins e chamado de modelo de media movel. Embora esses modelos parecem muito semelhantes ao modelo AR, o conceito por tras deles e bastante diferente. Os parametros de media movel relacionam o que acontece no periodo t apenas aos erros aleatorios que ocorreram em periodos de tempo passados, isto e, E (t-1), E (t-2), etc., em vez de X (t-1), X T-2), (Xt-3) como nas abordagens autorregressivas. Um modelo de media movel com um termo MA pode ser escrito da seguinte forma. O termo B (1) e chamado de MA de ordem 1. O sinal negativo na frente do parametro e usado apenas para convencao e normalmente e impresso Automaticamente pela maioria dos programas de computador. O modelo acima diz simplesmente que qualquer valor dado de X (t) esta diretamente relacionado apenas ao erro aleatorio no periodo anterior, E (t-1) e ao termo de erro atual, E (t). Como no caso dos modelos autorregressivos, os modelos de media movel podem ser estendidos a estruturas de ordem superior cobrindo diferentes combinacoes e comprimentos medios moveis. A metodologia ARIMA tambem permite a construcao de modelos que incorporem parametros de media movel e autorregressiva. Estes modelos sao muitas vezes referidos como modelos mistos. Embora isso torne uma ferramenta de previsao mais complicada, a estrutura pode de fato simular melhor a serie e produzir uma previsao mais precisa. Modelos puros implicam que a estrutura consiste apenas de AR ou MA parametros - nao ambos. Os modelos desenvolvidos por esta abordagem sao geralmente chamados de modelos ARIMA porque eles usam uma combinacao de auto-regressao (AR), integracao (I) - referindo-se ao processo inverso de diferenciacao para produzir as operacoes de previsao e media movel (MA). Um modelo ARIMA e normalmente indicado como ARIMA (p, d, q). Isso representa a ordem dos componentes autorregressivos (p), o numero de operadores de diferenciacao (d) e a ordem mais alta do termo medio movel. Por exemplo, ARIMA (2,1,1) significa que voce tem um modelo autorregressivo de segunda ordem com um componente de media movel de primeira ordem cuja serie foi diferenciada uma vez para induzir a estacionaridade. Escolhendo a especificacao certa: O principal problema no classico Box-Jenkins esta tentando decidir qual especificacao ARIMA usar-i. e. Quantos parametros AR e / ou MA devem ser incluidos. Isto e o que muito de Box-Jenkings 1976 foi dedicado ao processo de identificacao. Ela dependia da avaliacao grafica e numerica das funcoes de autocorrelacao da amostra e autocorrelacao parcial. Bem, para os seus modelos basicos, a tarefa nao e muito dificil. Cada um tem funcoes de autocorrelacao que parecem uma certa maneira. No entanto, quando voce subir em complexidade, os padroes nao sao tao facilmente detectados. Para tornar as questoes mais dificeis, seus dados representam apenas uma amostra do processo subjacente. Isto significa que os erros de amostragem (outliers, erros de medicao, etc.) podem distorcer o processo de identificacao teorica. E por isso que a modelagem ARIMA tradicional e uma arte ao inves de uma media movimentadora science. Autoregressive Na estatistica. Modelos de media movel autorregressiva (ARMA). As vezes chamado Box-Jenkins modelos apos George Box e G. M. Jenkins. Sao tipicamente aplicados a dados de series temporais. Dada uma serie temporal de dados X t. O modelo ARMA e uma ferramenta para a compreensao e, talvez, a previsao de valores futuros nesta serie. O modelo consiste em duas partes, uma parte autorregressiva (AR) e uma parte media movel (MA). O modelo geralmente e entao referido como o modelo ARMA (p, q) onde p e a ordem da parte autorregressiva e q e a ordem da parte media movel (como definido abaixo). Modelo auto-regressivo Editar A notacao AR (p) refere-se ao modelo autorregressivo de ordem p. O modelo AR (p) e escrito Um modelo autorregressivo e essencialmente um filtro de resposta de impulso infinito com alguma interpretacao adicional colocada sobre ele. Algumas restricoes sao necessarias sobre os valores dos parametros deste modelo para que o modelo permaneca estacionario. Por exemplo, os processos no modelo AR (1) com 1 gt 1 nao sao estacionarios. Exemplo: Um AR (1) - process Editar Um AR (1) - processo e dado por Pode-se ver que a funcao de autocovariancia decai com um tempo de decaimento de. A funcao de densidade espectral e a transformada de Fourier inversa da funcao de autocovariancia. Em termos discretos, esta sera a transformada de Fourier inversa de tempo discreto: que produz um perfil Lorentziano para a densidade espectral: Calculo dos parametros AR Edit O modelo AR (p) e dado pela equacao Uma vez que a ultima parte da equacao e nao - zero somente se m 0, a equacao normalmente e resolvida representando-a como uma matriz para m gt 0, obtendo assim a equacao Derivacao Editar A equacao que define o processo AR e Multiplicando ambos os lados por X tm e tendo rendimentos esperados valor que produz o Yule - As equacoes de Walker: Modelo de media movel A notacao MA (q) refere-se ao modelo de media movel de ordem q. Onde o 1. Q sao os parametros do modelo eo t. T-1. Sao novamente, os termos de erro. O modelo de media movel e essencialmente um filtro de resposta de impulso finito com alguma interpretacao adicional colocada sobre ele. Modelo de media movel auto-regressivo Editar A notacao ARMA (p. Q) refere-se ao modelo com p termos autorregressivos e q termos de media movel. Este modelo contem os modelos AR (p) e MA (q), Nota sobre os termos de erro Edit N (0, 2) onde 2 e a variancia. Essas premissas podem ser enfraquecidas, mas isso mudara as propriedades do modelo. Em particular, uma alteracao do i. i.d. Uma diferenca bastante fundamental. Especificacao em termos de operador de defasagem Editar Em alguns textos os modelos serao especificados em termos do operador de atraso L. Nestes termos, entao o modelo AR (p) e dado por onde representa o polinomio O modelo MA (q) e dado por onde representa o polinomio Finalmente, o modelo combinado ARMA (p. Q) e dado por ou mais concisamente, Os modelos ARMA em geral podem, apos escolher p e q, ser ajustados por regressao por minimos quadrados para encontrar os valores dos parametros que minimizam o termo de erro. Considera-se geralmente boa pratica encontrar os menores valores de p e q que proporcionam um ajuste aceitavel aos dados. Para um modelo AR puro, entao as equacoes de Yule-Walker podem ser usadas para proporcionar um ajuste. Generalizacoes Editar A dependencia de X t sobre valores passados ??e os termos de erro t e assumida como linear, a menos que especificado em contrario. Se a dependencia for nao-linear, o modelo e especificamente chamado de media movel nao-linear (NMA), nao-linear auto-regressiva (NAR), ou modelo de media movel autorregressiva nao linear (NARMA). Os modelos de media movel auto-regressivos podem ser generalizados de outras formas. Ver tambem modelos de heteroscedasticidade condicional autorregressiva (ARCH) e modelos de media movel integrada autorregressiva (ARIMA). Se forem montadas varias series temporais, pode ser instalado um modelo vectorial ARIMA (ou VARIMA). Se a serie de tempo em questao exibe memoria longa, entao fracionaria ARIMA (FARIMA, as vezes chamado ARFIMA) modelagem e apropriado. Se se pensa que os dados contem efeitos sazonais, pode ser modelado por um modelo SARIMA (ARIMA sazonal). Outra generalizacao e o modelo auto-regressivo multiescala (MAR). Um modelo MAR e indexado pelos nos de uma arvore, enquanto que um padrao (tempo discreto) modelo autorregressivo e indexado por inteiros. Ver modelo autorregressivo multiescala para uma lista de referencias. Veja tambem Editar Referencias Editar George Box e F. M. Jenkins. Analise de Series Temporais: Previsao e Controle. segunda edicao. Oakland, CA: Holden-Day, 1976.de: ARMA-Modell